2002年杜某所在的东南财经学院进行体制改革，杜某的人事关系挂靠在学校人才交流服务中心，自2002年10月起杜某所在的公司和杜某本人向学校支付款项用于学校向社保代缴杜某的养老保险等社会保险金。杜某于2002年9月20日与精益外贸有限公司董事长张某签订合同，合同约定该公司雇用杜某为公司副总经理，每月工资为17800元，雇用期为2002年10月20日起至2005年6月30日，在雇用期内，双方均可提前3个月通知对方解除合同。雇用期结束后，杜某仍然在公司上班，但未续签劳动合同。2006年8月，精益外贸有限公司更名为深圳精益经贸有限公司。2006年10月，精益公司（乙方）与深圳德尚人才开发中心（甲方）签订《劳务合同》，该合同附表的人员名单中包括杜某。2008年7月25日，精益公司向杜某发出解雇书，说明精益公司对杜某的雇用将于2008年10月31日解除。精益公司向杜某发放工资至2008年10月31日，之后杜某离开精益公司。后杜某向深圳市劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求精益公司支付解除合同的经济补偿金及额外经济补偿金。仲裁及判决市劳动争议仲裁委员会裁决精益公司支付杜某经济补偿金和额外经济补偿金共计：186900元。精益公司不服仲裁结果，起诉至区法院，区法院认定精益公司和杜某不存在劳动关系而是劳务关系，精益公司无需向杜某支付解除劳动合同的经济补偿金及额外经济补偿金。杜某不服区法院判决，上述至市中院，市中院主持调整，民事调解书确认精益公司给付杜某经济补偿金108000元。

杜某和精益公司之间是否存在劳动关系？

杜某提出的赔偿186900元是否合理？如果合理，请列出主要计算步骤。