正确答案
（1）某区人民检察院不能直接向市中级人民法院提出抗诉书。刑事诉讼法第一百八十五条规定，地方各级人民检察院对同级人民法院第一审判决、裁定的抗诉，应当通过原审人民法院提出抗诉书。本案中，某区人民检察院不服一审判决，只能通过某区人民法院提出抗诉书，由某区法院将抗诉书及案卷材料一并移送市中级法院，而不能直接向市中级法院提出抗诉书。
（2）市中级人民法院应开庭审理此案。刑事诉讼法第一百八十七条规定，对人民检察院抗诉的案件，第二审人民法院应当开庭审理。本案中，检察院提起抗诉后，市中级人民法院受理后，应当开庭审理。市中级人民法院认为该案事实清楚，就决定不开庭审理是错误的。