设X，Y是两个相互统计独立的二元随机变量，其取“0”或“1”的概率为等概率分布。定义另一个二元随机变量Z，而且Z=XY（一般乘积），试计算： （1）H（X），H（Y），H（Z）； （2）H（XY），H（XZ），H（YZ），H（XYZ）； （3）H（X|Y），H（X|Z），H（Y|Z），H（Z|X），H（Z|Y）； （4）H（X|YZ），H（Y|XZ），H（Z|XY）； （5）I（X；Y），I（X；Z），I（Y；Z）； （6）I（X；Y|Z），I（Y；X|Z），I（Z；X|Y），I（Z；Y|X）； （7）I（XY；Z），I（X；YZ），I（Y；XZ）。

两个离散随机变量X和Y，其和为Z＝X＋Y，若X和Y统计独立，求证： （1）H（X）≤H（Z），H（Y）≤H（Z） （2）H（XY）≥H（Z）

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有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为 并定义另一随机变量Z=XY（一般乘积）。试计算：

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若有三个离散随机变量，有如下关系：X+Y=Z，其中X和Y相互统计独立，试证明： （1）H（X）≤H（Z），当且仅当Y是常量时等式成立； （2）H（Y）≤H（Z），当且仅当X为常量时等式成立； （3）H（Z）≤H（XY）≤H（X）+H（Y），当且仅当X，Y中任意一个为常量时等式成立； （4）I（X；Z）=H（Z）−H（Y）； （5）I（XY；Z）=H（Z）； （6）I（X；YZ）=H（X）； （7）I（Y；Z|X）=H（Y）； （8）I（X；Y|Z）=H（X|Z）=H（Y|Z）。

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两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于（）。

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有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为： 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算：  （1）H（X），H（Y），H（Z）， H（XZ）， H（YZ）和H（XYZ）；  （2）H（X/Y），H（Y/X），H（X/Z），H（Z/X），H（Y/Z），H（Z/Y），H（X/YZ），H（Y/XZ）和H（Z/XY）；  （3）I（X；Y），I（X；Z），I（Y；Z）， I（X；Y/Z）， I（Y；Z/X）和I（X；Z/Y）。

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有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为P[X=0，Y=0]=1/8，P[X=0，Y=1]=3/8，P[X=1，Y=1]=1/8，P[X=1，Y=0]=3/8。定义另一随机变量Z=XY，试计算： （1）H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），H（XYZ）； （2）H（X/Y），H（Y/X），H（X/Z），H（Z/X），H（Y/Z），H（Z/Y），H（X/YZ），H（Y/XZ），H（Z/XY）； （3）I（X；Y），I（X；Z），I（Y；Z），I（X；Y/Z），I（Y；Z/X），I（X；Z/Y）。

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当随即变量X和Y相互独立时，条件熵等于信源熵。

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设x，y，z均为int型变量；写出描述“x，y和z中有两个为负数”的C语言表达式（）。

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试证明两连续随机变量之间的平均互信息I（X；Y）是输入随机变量X的概率密度函数p（x）的型凸函数。

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