对原子间距为a的由同种原子构成的二维正方格子 （1）画出前三个布里渊区， （2）求出每个原子有两个自由电子时的费米波矢， （3）给出第一布里渊区内接圆的半径， （4）给出内接圆为费米圆时的平均每个原子贡献的电子数。

同种原子构成的二维密堆积结构，正格子可以表示为：a1=ai，。其中a为晶格常数，应用紧束缚近似证明，其s带能带可以表示为：

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已知N个质量为m间距为a的相同的原子组成的一维原子链，其原子在

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由正负离子构成的一维无限长原子链，离子间距为a，离子的质量相等，为M，电荷交替变化，第n个离子的电荷为e（−1）n，离子间的相互作用是两种相互作用的总和，（1）原子间的近邻相互作用，恢复系数为β，（2）离子间的库仑相互作用。 （1）证明，库仑相互作用对原子力常数的贡献为： ε0为介电系数，m为自然数。 （2）证明色散关系可以表示为 ， 其中，ε0为介电系数。 （3）证明，当qa=π/a时，

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已知由N个同种金属原子构成的一维单原子链，金属总长度为L。电子数密度为n，在温度T=0时，求： （1）电子的费米波矢， （2）原子链的费米能， （3）电子的能态密度， （4）证明晶体平均每个电子的能量是费米能的1/3。

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计算由N个质量为m，间距为a的相同原子组成的一维单原子链的色散关系，说明存在截止频率ωmax的意义。

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两原子相互作用势为： 当两个原子构成稳定分子时，核间距为0.3nm，解离能为4eV，求α和β

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考虑一个全同原子组成的平面方格子，正方形的边长为a，每个原子的质量为M，最近邻原子的力常数为β。用ul，m记第l列，第m行的原子垂直于格点平面的位移。 （1）证明运动方程为： （2）设解的形式为 ， 证明色散关系为 。 （3）证明独立解存在的区域为边长为2π/a的正方形区域的正方形，分别画出q=qx，qy=0，和qx=qy时的ω（q）图。 （4）对于长波长极限，qa

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写出简单立方、体心立方和面心立方结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数，若立方体的边长为a，写出最近邻和次近邻原子间距。

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一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na，（1）用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数；（2）求出其能带密度函数N（E）的表达式。

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